TÍTULO. Razones trigonométricas.Relación entre ellas. NIVEL: Cuarto de ESO. OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
Conocer las razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Demostrar las relaciones fundamentales de las razones trigonométricas.
Hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 45º, 30º y 60º.
Conocer las razones trigonométricas de cualquier ángulo y dibujarlas en la circunferencia goniométrica.
DESARROLLO: Actividad individual.
DESCRIPCIÓN: A partir de una construcción realizada con GeoGebra se definen el seno, coseno y tangente de un ángulo agudo y se comprueba que no dependen del ángulo.Para ello los alumnos manipulan la construcción y observan los cambios en las razones. Partiendo de la definición se demuestran las tres relaciones fundamentales. El profesor da indicaciones a los alumnos para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 45º, 30º y 60º. Se definen y estudian las razones trigonométricas de cualquier ángulo en la circunferencia goniométrica.Se ilustra con unas construcciones con GeoGebra.
FICHA DEL ALUMNO
TÍTULO: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. RELACIÓN ENTRE ELLAS.
En la siguiente construcción mueve el punto C y observa qué sucede en la razón a/c.
Como los triángulos ABC son semejantes, la razón a/c no varía. Vuelve a la construcción y selecciona las tres casillas. Mueve el punto C, varía el ángulo y observa cómo varían las razones a/c, b/c y a/b. Se definen así el seno, el coseno y la tangente del ángulo a, que denotamos con sen(a), cos(a) y tg(a).
REALIZA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD: Partiendo de las definiciones, demuestra las siguientes igualdades:
(1) Halla el seno, coseno y tangente del ángulo de 45º. (Sugerencia: en un triángulo rectángulo isósceles, los dos catetos tienen la misma longitud y los dos ángulos agudos son iguales).
(2) Halla el seno, coseno y tangente de los ángulos de 30º y 60º. (Sugerencia: cada una de las alturas de un triángulo equilátero lo divide en dos triángulos rectángulos cuyos catetos menores miden la mitad del lado).
Las definiciones de seno, coseno y tangente se extienden a un ángulo cualquiera. Para ello se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas y una circunferencia de centro (0,0) y radio =1 llamada circunferencia goniométrica.
Cada ángulo a determina un punto P(x,y) sobre la circunferencia. El radio y las coordenadas de este punto forman un triángulo rectángulo de forma que:
sen a= y/1 =y ; cos a = x/1 = x ; tg a= y/x
En la siguiente construcción, variando el ángulo y marcando la casilla correspondiente, aparecen representados su seno, su coseno, o ambos, coloreados en azul cuando son positivos y en rojo cuando son negativos.
FICHA DEL PROFESOR
TÍTULO. Razones trigonométricas.Relación entre ellas.NIVEL: Cuarto de ESO.
OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
- Conocer las razones trigonométricas de un ángulo agudo.
- Demostrar las relaciones fundamentales de las razones trigonométricas.
- Hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 45º, 30º y 60º.
- Conocer las razones trigonométricas de cualquier ángulo y dibujarlas en la circunferencia goniométrica.
DESARROLLO: Actividad individual.DESCRIPCIÓN: A partir de una construcción realizada con GeoGebra se definen el seno, coseno y tangente de un ángulo agudo y se comprueba que no dependen del ángulo.Para ello los alumnos manipulan la construcción y observan los cambios en las razones. Partiendo de la definición se demuestran las tres relaciones fundamentales. El profesor da indicaciones a los alumnos para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 45º, 30º y 60º. Se definen y estudian las razones trigonométricas de cualquier ángulo en la circunferencia goniométrica.Se ilustra con unas construcciones con GeoGebra.
FICHA DEL ALUMNO
TÍTULO: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. RELACIÓN ENTRE ELLAS.
En la siguiente construcción mueve el punto C y observa qué sucede en la razón a/c.
Josefina Rabasa, Creación realizada con GeoGebra
Como los triángulos ABC son semejantes, la razón a/c no varía. Vuelve a la construcción y selecciona las tres casillas. Mueve el punto C, varía el ángulo y observa cómo varían las razones a/c, b/c y a/b. Se definen así el seno, el coseno y la tangente del ángulo a, que denotamos con sen(a), cos(a) y tg(a).
REALIZA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD: Partiendo de las definiciones, demuestra las siguientes igualdades:
(1) sen2a + cos2a = 1
(2) sen a/ cos a =tg a
(3) 1 +tg2a= 1 / cos2a
Josefina Rabasa, Creación realizada con GeoGebra
REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES:(1) Halla el seno, coseno y tangente del ángulo de 45º. (Sugerencia: en un triángulo rectángulo isósceles, los dos catetos tienen la misma longitud y los dos ángulos agudos son iguales).
(2) Halla el seno, coseno y tangente de los ángulos de 30º y 60º. (Sugerencia: cada una de las alturas de un triángulo equilátero lo divide en dos triángulos rectángulos cuyos catetos menores miden la mitad del lado).
Josefina Rabasa, Creación realizada con GeoGebra
Josefina Rabasa, Creación realizada con GeoGebra
Las definiciones de seno, coseno y tangente se extienden a un ángulo cualquiera. Para ello se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas y una circunferencia de centro (0,0) y radio =1 llamada circunferencia goniométrica.
Cada ángulo a determina un punto P(x,y) sobre la circunferencia. El radio y las coordenadas de este punto forman un triángulo rectángulo de forma que:
sen a= y/1 =y ; cos a = x/1 = x ; tg a= y/x
En la siguiente construcción, variando el ángulo y marcando la casilla correspondiente, aparecen representados su seno, su coseno, o ambos, coloreados en azul cuando son positivos y en rojo cuando son negativos.
Josefina Rabasa, Creación realizada con GeoGebra
En la siguiente construcción, variando el ángulo aparece representada su tangente, coloreada en azul cuando es positiva y en rojo cuando es negativa.
Josefina Rabasa, Creación realizada con GeoGebra